HISTORIA DE LAS CÓNICAS

HISTORIA DE LAS CÓNICAS

LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS

Anaxágoras, murió en el año 428 A.C., el mismo año en que nacía Arquitas, un año antes del nacimiento de Platón y un año después de la muerte de Pericles.

Se dice que Pericles murió de la peste que se llevó quizás como una cuarta parte de la población ateniense, y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen de un segundo problema matemático famoso. Al parecer se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podía conjurarse la peste, a lo que el oráculo contestó que era necesario duplicar el altar público dedicado a Apolo. Este es, según la leyenda, el origen del problema de la “Duplicación del Cubo”, que se suele conocer también desde entonces como el “problema de Delos”: dada la arista de un cubo, construir, usando únicamente la regla y el compas, la arista de otro cubo que tenga volumen el doble que el primero.

Este problema junto con la cuadratura del círculo, y la trisección del ángulo han sido conocidos como “Los tres problemas clásicos de la antigüedad”. Más de 2200 años más tarde se iba a demostrar que todos estos tres problemas eran insolubles utilizando únicamente la regla y el compás.

SURGIMIENTO DE LAS PRIMERAS CÓNICAS

Menecmo, fue un notable geómetra que vivió sobre el año 350 A.C.; tratando de solucionar el problema de Delos o deliano, descubrió las llamadas secciones cónicas: esto es que las curvas más tarde llamadas, parábola, hipérbola y elipse, pueden obtenerse mediante secciones planas del cono.
Hipócrates de Chios había demostrado que se podía conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar, y fuera permitido utilizarlas, curvas que tuvieran la propiedad expresada en una proporción continua  , y recordamos que los griegos solo disponían de dos métodos para definir curvas:

1) por medio de combinaciones de movimientos uniformes,

2) como intersecciones de superficies geométricas conocidas.

Fue un éxito notable por parte de Menecmo el descubrimiento de que existían curvas a mano con la propiedad deseada, cortando un cono circular recto por un plano perpendicular a un elemento o generatriz del cono.

De todas las líneas curvas que pueden observarse en la vida diaria, a parte de las circunferencias y las rectas, la elipse es quizás la más frecuente, ya que se presenta aparentemente siempre que observamos una circunferencia oblicuamente o bien al aserrar oblicuamente un tronco cilíndrico. Sin embargo, el descubrimiento original de la elipse por parte de Menecmo parece haber sido hecho como un mero sub producto de la investigación en la que lo que se buscaba realmente era la parábola y la hipérbola, que presentaban las propiedades necesarias para resolver el problema de Delos.

Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja y que forma un ángulo recto en el vértice, es decir, que su generatrices formen con el eje un ángulo de 45®, descubrió Menecmo que al cortar el cono por un plano perpendicular a uno de sus elementos o generatrices, la curva de intersección es tal que su ecuación, hablando en términos de la geometría analítica moderna, puede escribirse en la forma  , donde l es una constante que depende únicamente de la distancia del vértice del cono al plano de la sección.

Algunos historiadores han sostenido que Menecmo conocía ya de cierta forma la   geometría analítica. Esta opinión  es escasamente justificable, puesto que Menecmo ciertamente no podía ser consciente del hecho de que una ecuación arbitraria en dos indeterminadas determina una curva. De hecho, la idea general de una ecuación en cantidades indeterminadas fue ajena al pensamiento griego, y precisamente fueron las limitaciones en la notación algebraica las que obstaculizaron, más que ninguna otra causa, el que los griegos llegaran a conseguir una geometría analítica propiamente dicha.

OBRAS PERDIDAS

Las obras de Euclides que han sobrevivido son los tratados de matemática griega más antiguos existentes, sin embargo, se han perdido más de la mitad de los escritos de Euclides, entre los que están algunas de sus obras más importantes, tales como un tratado de cónicas. Euclides consideraba a Aristeo, un geómetra contemporáneo suyo, como merecedor de grandes honores por haber escrito un tratado anterior sobre Lugares Sólidos, que era el nombre griego para las secciones cónicas, derivado probablemente de la definición estereométrica de estas curvas en la obra de Menecmo. Los tratados sobre cónicas por Aristeo y Euclides se han perdido los dos, probablemente de manera irrecuperable, y ello fue debido quizás a que fueron pronto remplazados por la obra más extensa sobre cónicas de Apolonio.

APOLONIO DE PERGA (Griego antiguo: Ἀπολλώνιος)

Apolonio nació en Perga, en Panfilia, situada en el sur de Asia menor, pero probablemente estudió en Alejandría y todo parece indicar que durante algún tiempo se dedico a enseñar, más tarde, en dicha universidad. Se sabe también que vivió en Pergamo durante una época de su vida, ciudad que contaba así mismo con una universidad y una biblioteca superadas solo por las de Alejandría. No se conoce con exactitud las fechas límites de su vida, pero se dice que vivió durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y de Ptolomeo Filopater, se dice también que era de 25 a 40 años más joven que Arquímedes, a partir de todos estos datos se ha sugerido como fechas de su nacimiento y muerte los años 262 y 190 A.C. respectivamente, por lo demás poco se sabe de su vida.

LAS CÓNICAS

Solo dos de los muchos tratados escritos por Apolonio han sobrevivido en su mayor parte. Todas las versiones griegas de sus Secciones en una razón dada se perdieron hace largo tiempo, pero no antes de que se hiciera una traducción al árabe; en 1706 Halley, el astrónomo amigo de Newton, publico una traducción de esta obra al latín, y a partir de entonces a aparecido traducida a diversas lenguas modernas. A parte de este tratado solo se ha conservado sustancialmente otra obra de Apolonio, Las Cónicas.

De esta famosa obra solo se conserva en el original griego la mitad, los 4 primeros de sus ocho libros, pero por suerte el matemático árabe Thabit ibn Qurra, tradujo los tres libros siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, y esta traducción se ha conservado. En 1710 Edmond Halley publicó una traducción al latín de los siete libros y desde entonces se han publicado muchas versiones en lenguas modernas.

Las secciones cónicas se conocían ya desde hacía más o menos un siglo y medio cuando Apolonio compuso su famosos tratado, pero de la misma manera que Los Elementos de Euclides habían eclipsado a todos los textos elementales anteriores, así también en el nivel más avanzado de la teoría de las secciones cónicas, Las Cónicas de Apolonio desplazaron a todos sus rivales en este campo, incluyendo las cónicas de Euclides.

Si la supervivencia es en algún sentido una medida de la calidad, entonces Los Elementos de Euclides y Las cónicas de Apolonio fueron sin duda las mejores obras en su género en la matemática antigua.

Las Cónicas de Apolonio en los manuscritos del Vaticano

El Libro I de Las Cónicas comienza con una exposición de los motivos para escribir la obra. Así se conoce que mientras Apolonio estaba en Alejandría fue visitado por un geómetra llamado Naucrates y a petición de éste  Apolonio escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en ocho libros. Más tarde, ya en Pergamo, Apolonio se tomo el tiempo necesario para pulir estos libros. Los cuatro primeros, los describe el autor como constituyendo una introducción elemental, y se supone que la mayor parte del material que contienen había aparecido publicado en los anteriores tratados de cónicas. Sin embargo, Apolonio dice expresamente que algunos de los teoremas contenidos en el Libro III son suyos propios, ya que Euclides no había dado un tratamiento completo de los lugares geométricos que se consideran en él. Apolonio afirma que los últimos cuatro libros son extensiones que van mucho más allá de lo elemental.

Anteriormente a Apolonio, la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según que el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. Parece ser que Apolonio demostró por primera vez y de una manera sistemática que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono.

Otra generalización importante se llevó a cabo cuando Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto, si no que puede igualmente tomarse de entrada un cono circular oblicuo o escaleno. Por último, llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas. De hecho, Apolonio da la misma definición de cono circular que se utiliza actualmente:

“si una línea recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se hace mover sobre la circunferencia de un circulo que no está en el mismo plano que el punto dado, de tal manera que pase sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia, entonces la recta móvil describirá la superficie de un cono doble”

Este cambio en el punto de vista convierte a la hipérbola en la curva de dos ramas tal como la conocemos hoy.

LAS PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Los geómetras griegos clasificaban las curvas en tres categorías:

1)      “lugares planos” contenían a todas las líneas rectas y circunferencias

2)      “lugares sólidos” estaban constituidos por todas secciones cónicas

3)      “lugares lineales” agrupaba a todas las curvas restantes

El nombre dado a la segunda clase venía sugerido sin duda, por el hecho de que las cónicas no se definían como lugares geométricos del punto del plano que satisfacen una condición determinada, tal como se suele hacer hoy, si no que se describían de una manera estereométrica como secciones de una figura tridimensional por un plano.

Apolonio, al igual que sus predecesores, obtenía sus curvas a partir de un cono en el espacio tridimensional, pero intento y consiguió prescindir del cono lo más rápidamente posible. A partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental o “síntoma” de la sección, que viene a dar una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado sobre la curva, y desde ese momento abandonó ya el cono y procedió a estudiar dicha curva por métodos planimétricos exclusivamente, basados en esta propiedad.

LUGAR GEOMETRICO DETERMINADO POR TRES Y CUATRO RECTAS

Según parece, Apolonio estaba especialmente orgulloso del Libro III de su obra ya que en el Prologo General a Las Cónicas se puede leer:

“el tercer libro contiene muchos teoremas notables que son útiles para la síntesis de lugares sólidos y la determinación de limites; la mayoría de estos teoremas, y a la vez los más bellos son nuevos, y, cuando los descubrí pude observar que Euclides no había tratado la síntesis de los lugares geométricos con respecto a tres y cuatro rectas, si no solo los casos fáciles, y aun así sin éxito, porque era imposible completar esta síntesis sin contar con mis descubrimientos adicionales”

El lugar geométrico determinado por tres y cuatro rectas jugó un papel muy importante a lo largo de la historia de la matemática desde Euclides hasta Newton. Se trata de lo siguiente: dadas tres (o cuatro) rectas en un plano hallar el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que el cuadrado de la distancia del P a una de estas tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos (o, en el caso de cuatro rectas, el producto de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos), midiendo siempre estas distancias en direcciones tales que formen ángulos dados con las líneas correspondientes.

Si se utilizan los  métodos analíticos modernos, incluyendo la forma normal de la ecuación de una recta entonces es posible demostrar que el lugar geométrico buscado es una sección cónica, sea real o imaginaria, reducible o irreducible.

Esta solución en terminología moderna no hace justicia al tratamiento dado por Apolonio al problema en su Libro III, en el que se encuentran más de cincuenta proposiciones formuladas cuidadosamente y demostradas todas ellas por métodos sintéticos, que conducen finalmente al lugar geométrico buscado. Medio milenio más tarde Pappus, propuso una generalización de este teorema para n rectas, con n>4, y fue precisamente este problema generalizado el que sirvió a Descartes en 1637 como “Test Crítico” de su novísima geometría analítica.

INVENCIÓN DE LA GEOMETRIA ANALITICA

René Descartes (La Haye, Turena francesa, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica.[1]

La filosofía y la ciencia de Descartes eran ciertamente revolucionarias en su ruptura con el pasado, su matemática, en cambio, estaba más ligada a las tradiciones anteriores. En cierta medida, esto puede haber sido el resultado natural, del hecho de que el crecimiento de la matemática consiste más en una acumulación progresiva que en el caso del desarrollo de otras ramas del saber. La matemática crece generalmente por acumulaciones sucesivas, en las que raramente se necesitan desechar partes innecesarias, mientras que en  la ciencia natural crece casi siempre por medio de sustituciones. No sorprende  ver que la construcción más importante de Descartes a la matemática, es decir, la creación de la geometría analítica, estuvo motivada por un intento de volver al pasado.

Descartes se intereso seriamente por la matemática ya durante el frío invierno de 1619, cuando podía permanecer en la cama debido a su frágil salud, tiempo que dedicaba a pensar en problemas matemáticos. Nueve años más tarde escribía Descartes a un amigo en Holanda diciéndole que había hecho tales progresos en aritmética y geometría que no le quedaba ya nada por desear. No se sabe exactamente cuáles eran estos progresos, ya que Descartes no publicó nada durante estos años, pero la dirección en que iban sus pensamientos se revela en otra carta de 1628 a su amigo holandés en la que le comunica una regla para la construcción de las raíces de cualquier ecuación cubica o cuartica por medio de una parábola. Se trata esencialmente de la misma cosa que había hecho Menecmo para resolver la duplicación del cubo unos 2000 años antes, y que Omar Khayyam había aplicado a las curvas en general entorno al año 1100. No está claro el hecho de si Descartes había descubierto ya su geometría analítica, en toda su generalidad, para el año 1628 o no, pero en cualquier caso la fecha concreta de la invención de la geometría cartesiana no puede ser muy posterior a ésta. Por esta misma época Descartes abandono Francia y se instaló en Holanda, donde vivió los siguientes 20 años de su vida. Al cabo de 3 o 4 años de establecerse allí, otro de sus amigos holandeses, un estudioso de los clásicos, llamó su atención sobre el problema de las 3 o 4 rectas de Pappus. Partiendo de la impresión errónea de que los antiguos habían sido incapaces de resolver este problema, Descartes le aplico sus nuevos métodos y consiguió resolverlos sin dificultad. Este hecho le hizo darse cuenta claramente de la potencia y la generalidad de su punto de vista, y en consecuencia decidió escribir su famosa obra La Géométrie cuya lectura permitió conocerla geometría analítica a sus contemporáneos.

El título de La Géométrie no debe llevarnos a pensar que es básicamente un tratado geométrico, ya en Discours al que sirve de apéndice La Géométrie, se había ocupado Descartes de discutir los meritos relativos que corresponden al algebra y a la geometría, sin llegar a inclinarse a favor de una o de la otra. Acusaba a la geometría de apoyarse excesivamente en diagramas y figuras que llegan a fatigar de manera innecesaria la imaginación, y a la vez acusaba al algebra de ser un arte confuso y oscuro que desconcierta a la mente. El objetivo de su método era doble:

1)      El de liberar en lo posible a la geometría, a través de los métodos algebraicos, del uso de las figuras.

2)      Darle un significado concreto a las operaciones del algebra por medio de su interpretación geométrica.

Su manera de proceder en La Géométrie era la de comenzar por el estudio de un problema puramente geométrico para traducirlo a continuación al lenguaje de una ecuación algebraica, y entonces, una vez simplificada dicha ecuación todo lo posible, resolver esta ecuación de una manera geométrica, análogamente a como había hecho previamente con las ecuaciones cuadráticas. Siguiendo las ideas de Pappus, insistía Descartes en que, al resolver geométricamente una ecuación se debían utilizar únicamente los métodos más sencillos compatibles con el grado de la ecuación. Para las ecuaciones cuadráticas son suficientes rectas y circunferencias, y para las cubicas y las cuarticas bastan las cónicas. En este punto Descartes se encontraba ya dispuesto a avanzar más allá de los limites en que se habían detenido los griegos.

LA IDENTIFICACIÓN DE CÓNICAS

Prácticamente la totalidad de la geometría está dedicada a la aplicación sistemática y completa del algebra a la geometría y de la geometría al algebra, pero lo cierto es que  a lo largo de todo el tratado es bien poco que se parezca a lo que hoy solemos considerar geometría analítica. No hay nada sistemático respecto al uso de coordenadas rectangulares, por otra parte no se encuentra en toda la obra ni una sola curva nueva representada directamente a partir de su ecuación y, de hecho, el autor se tomo tan poco interés por la representación de curvas que nunca llegó a entender el significado de las coordenadas negativas. Además, el principio fundamental de la geometría analítica, que consiste en el descubrimiento de que las ecuaciones determinadas en dos incógnitas corresponden a lugares geométricos, no aparece hasta el segundo libro, y aun entonces solo de una manera un tanto accidental “la solución de uno cualquier de estos problemas de lugares geométricos consiste nada más que en hallar un punto para cuya completa determinación falta una condición…En cualquiera de estos casos se llega a una ecuación que contiene dos cantidades incógnitas”

LOS LUGARES GEOMETRICOS DE FERMAT  

Si Descartes tuvo un rival en lo que a capacidad matemática ser refiere, este era Fermat, que tampoco fue en absoluto un matemático profesional. Estudió derecho en Toulouse para incorporarse más tarde a las tareas del parlamento local. Hacia el año 1629 Fermat abordó la tarea de construir Los Lugares Planos de Apolonio, apoyándose en las referencias contenidas en la Colección Matemática de Pappus. Un importante sub producto de este esfuerzo fue el descubrimiento, probablemente antes de 1636, del principio fundamental de la geometría analítica: “siempre que en una ecuación final aparezcan dos cantidades incógnitas tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de una de ellas una línea, recta o curva”. Esta afirmación, escrita un año antes de que apareciese La Géométrie de Descartes, parece haberle venido sugerida a Fermat por su aplicación del análisis de Viéte al estudio de los lugares geométricos de Apolonio. Fermat ponía el énfasis en la representación gráfica en las soluciones de ecuaciones indeterminadas, en vez de a la construcción geométrica de las raíces de ecuaciones algebraicas determinadas.

El autor se limitó únicamente a los lugares geométricos más sencillos, comenzando por la ecuación lineal y eligiendo un sistema de coordenadas arbitrario para representarlas; y al igual que Descartes no utilizaba abscisas negativas.

A continuación demuestra Fermat, que la representación de xy=k² es una hipérbola, la ecuación x² = y² la consideraba representada por una única semirrecta, puesto que trabaja únicamente en el primer cuadrante; demuestra también que  es una parábola, que x² + y² +2ax +2by = c² es una circunferencia, que a² –x² = ky² es una elipse y que a² + x² = ky²  es una hipérbola, de las que da las dos ramas. Para el caso de las ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, Fermat aplica una rotación de los ejes con objeto de reducirlas a las formas anteriores. Fermat consideraba como el punto culminante de su tratado, Introducción a los Lugares Geométricos Planos y Sólidos, la proposición siguiente: “dado un numero cualquier de rectas, el lugar geométrico de un punto tal que la suma de los cuadrados de los segmentos trazados desde dicho punto a las rectas dadas, formando con ellas ángulos dados, sea constante, es un lugar sólido”. Al final del tratado, añadió un apéndice titulado “la resolución de problemas sólidos por medio de lugares geométricos”, en el que muestra que las ecuaciones cubicas y cuarticas se pueden resolver por medio de cónicas, tema que también aparecía repetidas veces en La Géométrie de Descartes.

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[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes